DRAKON.SU

Рекомендую еще с таким документом ознакомиться: http://lpcs.math.msu.su/~uspensky/bib/U ... oritma.pdf

Очень большое спасибо, уважаемый ilovb.
Дано натыкаюсь на эту работу в списках литературы, но не удавалось добраться до нее.

Здесь сразу задается определение:
Алгоритмом принято называть систему вычислений, которая для некоторого класса математических задач из записи «условий» задачи позволяет при помощи однозначно определенной после­довательности операций, совершаемых «механически», без вмешательства творческих способностей человека, получить запись «решения» задачи.
Под системой вычислений подразумевается последовательность вычислительных действий (операций).
Интересно, что для ранних определений алгоритмов у классиков классической теории алгоритмов (50-е годы)
характерно их (алгоритмов) определение как вычислительных процессов (последовательностей вычислительных действий или операций).
Но позднее (70-е годы) фактически все они дружно стали отождествлять алгоритмы с предписаниями,
которые задают вычислительные процессы (последовательности ...).

Затем в статье пишется (с. 4):
"Поэтому вопрос об определении алгоритма, по существу, равносилен вопросу об определении вычислимой функции".
И далее все выкладки относятся к разным определениям вычислимых функций посредством разных представительных вычислительных моделей (в связи с понятием алгоритма) - как строгое математическое уточнение понятия алгоритма.
Но само определение алгоритма фактически уже больше не обсуждается.

Наверное, бродить по этим частным рассуждениям интересно и даже (в частных случаях) полезно.
Меня удивляет то, что никто не заботится о более фундаментальном осмыслении алгоритма и программы, их соотношения и т.п.
Обратите внимание на вопросы, затронутые по ходу дела в обсуждении другой проблемы (читать примерно отсюда: viewtopic.php?p=88313#p88313 ).

P.S. А, нет, кое-кто всё-таки озаботился: выше вы привели упоминание о непрерывных алгоритмах

А непрерывные алгоритмы не должны ли иметь дело с непрерывными знаками?..

Дык это определение 1958-го года прошлого века - ранних классиков классической теории алгоритмов (= теории вычислимости) на ранних этапах ее становления.
Это были еще корявые и неумелые определения (с нынешней более продвинутой точки зрения).
При этом такие определения не входят в сферу самой классической теории (потому и корявые):
это чисто вспомогательная "опознавательная" логическая процедура для классической математической теории алгоритмов,
поскольку понятие алгоритма не подается прямому строгому математическому определению,
а косвенно уточняется через строгие определения вычислимых функций
(посредством представительных вычислительных моделей).

Но есть, например, существенно более вразумительное определение (последовательного) алгоритма:
алгоритм - это (строгое и понятное) предписание исполнителю выполнить последовательность действий,
направленных на достижение заданной цели (или решение поставленной задачи) .

Это определение академика Ершова А.П. и его команды (1985-го года) - это представители неклассической прикладной теории математических алгоритмов
(из школы чл.-кора Ляпунова А.А., основателя отечественной прикладной теории алгоритмов).
Причем это преднамеренно обобщенное определение.
Оно допускает не только алгоритмы математического назначения.
В частности, в школьной информатике по такому определению приводятся (простые) примеры алгоритмов:
из области быта - рецепты приготовления и т.д., техники - работа с телефоном или торговым автоматом и т.п.

Что да, то да.
В целом здесь пока полная самодеятельность - кто в лес, кто по дрова.
Это потому, что неклассическая прикладная алгоритмика
просто заимствует у классической теории такой небрежные вспомогательный подход
в области ключевой концептуальной первоосновы прикладной теоретической и практической алгоритмики.
Прикладникам пора, конечно, наводить здесь свои порядки (без излишней оглядки на классику).

Глядим:
Спасибо, уважаемый Alexey_Donskoy (!!!).
Бальзам на душу.
Уже два человека (как минимум) глядят в задумчивости в эту предполагаемую непрерывную алгоритмическую сторону.

Я сильно подозреваю, что в теории автоматического управления (ТАУ)
существует тенденция расширение понятия алгоритма на непрерывные алгоритмы.
Я очень давно не глядел в ТАУ
(практически с тех пор, когда она еще называлась как теория автоматического регулирования: ТАР).
Ушел в дискретную автоматику (в автоматизации производства).

В ТАУ все чаще стали появляться выражения типа: алгоритм управления.
На самом деле, как я предполагаю - это разновидности дифференциальных уравнений.
Только - это не дифуры в исходной форме, а передаточные функции:
интегральные преобразования дифуров и в компактные, своего рода, структурные формулы систем автоматического управления (САУ),
которые однозначно отображаются на структурные схемы САУ.

Термин "алгоритм управления" здесь стал приживаться потому, видимо,
что для реализации передаточных функций стали применяться цифровые вычислители.
Но аналоговая или цифровая схема реализации структурных формул алгоритмов
(то есть дифференциальных уравнений в первооснове) - это уже
концептуальные детали в третьем знаке после запятой:
вторичная дискретизация непрерывной в своей основе системы.

Главное:
для формулы или уравнения непрерывной системы появляются, в принципе, свои непрерывные алгоритмы.
Причем это изначально в общем случае параллельные непрерывные алгоритмы, поскольку:
двухместные и многоместные функции в аналоговой реализации неизбежно распараллеливаются естественным образом.

Это конечно все надо проверять, разбираться и обосновывать.
Здесь могут быть разные возражения.
Но что-то в этом роде уже проклевывается.

Глядим дальше:
А давайте глянем в структурные формулы (передаточные функции) и структурные схемы непрерывных алгоритмов САУ (предположим, что они точно есть).

Исходная простая ситуация:
-- используются только последовательные и параллельные структуры, смежные и вложенные структуры с обратными связями;
-- они легко описываются обычными передаточными функциями (структурными формулами) произвольной сложности и вложенности;
-- это аналог структурного программирования (только двухполюсные структуры) - без "goto"

Более сложная ситуация:
-- для упрощения (минимизации) схем используются мостиковые связи и т.п.;
-- здесь только обычные структурные формулы (передаточные функции) применить невозможно:
необходимо применять дополнительные входные и выходные адресные связи;
-- это аналоги "goto" в программировании.
В программирования любые программы с "goto" можно преобразовать в программы без "goto",
хотя при этом может быть проигрыш в компактности программы.
Полностью аналогично и в структурных схемах и формулах (передаточных функциях)
(предполагаемых) непрерывных алгоритмов.
Это еще один аргумент в пользу расширения понятия алгоритма на непрерывные алгоритмы.
Так что, еще раз мерси, уважаемый Alexey_Donskoy.

Этот вопрос, наверное, не ко мне.
Но это неожиданный и интересный вопрос (для меня по крайней мере).
Надо думать.
По-видимому, это не непрерывные знаки, а непрерывные последовательности знаков.
Но непрерывность - это предельная идеализация.
Реально, в таких непрерывных последовательностях существуют дискретности разного рода
(по времени, по уровню сигналов и т.п.).

Вы предлагаете выйти на нечто типа "алгоритм - это способ протащить систему в её фазовом пространстве из области начальных состояний в область целевых"?

Кстати, я два года назад читал студентам теорию алгоритмов, где пытался параллельно рассматривать как управляющий алгоритм (в автоматной модели), так и управляемую систему (её структуру и пространство состояний), и проводить параллели между понятиями теории алгоритмов и вообще понятием фазового пространства любой системы, любыми процессами... Правда, это была небольшая, локальная параллель, без обобщений.

По-видимому, эти (ниже следующие) вопросы опять были не ко мне, но я встреваю, поскольку это меня в принципе интересует.
При этом короткий пост (я его разбиваю на 3 принципиально разные части) обрастает ворохом конкретных проблемных вопросов, если на этот пост отвечать не в общих чертах.
Но это на любителя - зануду по такой алгоритмической проблематике.

Выражение (для идеи непрерывного алгоритма):
"алгоритм - это способ протащить систему в её фазовом пространстве из области начальных состояний в область целевых"
означает, видимо - протащить систему из одной точки фазового пространства в другую точку оного.
И это выражение является, по-существу, хорошей контрольной лакмусовой бумажкой
в отношении степени здравомыслия идеи непрерывного алгоритма.

Возьмем конкретно разные виды систем автоматического управления:
-- система (стабилизирующего) регулирования
некоторого параметра (например, скорости вращения чего-то там) на заданном уровне;
-- следящая система (торпедная, ракетная и т.п.);
-- система аналогового программного управления
некоторым параметром системы (например, изменение температуры по какому-то закону);
-- какие еще могут быть другие разные и более сложные задачи?

По каждому варианту возникают типовые вопросы:
-- как обстоят дела с точками состояния системы в фазовом пространстве;
-- что означает непрерывный алгоритм управления (регулирования) в данном конкретном случае?
-- какая от понятия такого непрерывного алгоритма дополнительная концептуальная, теоретическая и практическая польза, по сравнению с традиционными представлениями.

------------------------
Это хорошая конкретная информация к размышлению
по поводу наших праздных утверждений и мечтаний о тенденции прорастания непрерывных алгоритмов.
А может быть, кто-то и где-то уже профессионально обсасывает эту тенденцию?
(по такому же или другому поводу)

При этом данный вопрос:
1) Здесь возник из вопроса:
являются ли дифференциальные уравнения непрерывными алгоритмами?
2) Но это частный случай следующего вопроса.
Является ли произвольная (вычислительная) формула алгоритмом:
дискретным или непрерывным - в зависимости от ее цифровой или аналоговой схемной ее реализации.

Здесь также сразу высвечивается целый букет проблемных вопросов.

Какая существует связь автоматных моделей с (прикладной) теорией алгоритмов ???
Строго говоря, конечные и прочие автоматы исторически изначально относятся не к теории алгоритмов, а к теории логического управления.
И здесь были (и есть) два уровня теории:

1) Комбинационные автоматы - реализация булевых функций:
а) Аппаратная реализация - традиционно с (прикладной) теории алгоритмов не ассоциируется:
-- асинхронные схемы:
-- -- без учета задержек - обычные булевы функции:
синтез, анализ, эквивалентные преобразования, минимизация;
-- -- с учетом задержек - быстродействие, гонки и т.п.:
булевы функции и дополнительные практические прибамбасы, временные булевы функции.
б) Программная реализация - по всем вышеперечисленным аппаратным аспектам:
-- вычисления (в том числе быстрые), автоматизация схемного проектирования, моделирования, исследований и т.п.;
-- теория алгоритмов имеет некоторое косвенное значение.

2) Так называемые последовательностные автоматы:
-- последовательные и, затем, параллельные автоматы (точнее, коллективы автоматов);
-- их аппаратная реализация - так называемый абстрактный и структурный синтез,
минимизация и т.п.;
-- их программная реализация, в частности, автоматное программирование.
Все это - частный случай так называемых дискретных моделей, включая (дополнительно):
сети Петри и другие разные сети.

И здесь появляется вопрос на засыпку:
какое отношение такие дискретные модели имеют к теории алгоритмов ???

Развернутого точного ответа на него у меня нет.
Есть пока только интуитивные ориентировки типа:
1) В теории алгоритмов (и в программировании) есть ключевое структурное представление:
наличие потока управления и потока данных.
2) В автоматных и прочих дискретных моделях такого представления нет.
3) Но:
-- потоки управления и потоки данных алгоритмов (и программ)
могут моделироваться автоматными и дискретными моделями:
по отдельности и в их взаимосвязи.
-- и наоборот, автоматные и вообще дискретные модели могут моделироваться алгоритмами (и быть реализованы программно).

Такая вот взаимная разница и взаимная модельная пригодность.
Но что их этого следует?

(продолжение следует)

А оно разве не найдено уже?

2 andr:
Поделитесь, пожалуйста, ссылками на прикладную теорию алгоритмов.
И приведите так горячо обсуждаемые "аналоговые алгоритмы".
Иначе непонятно о чем так много слов сказано.


Почитайте Минского http://www.proklondike.com/books/thproc ... omati.html

Не лучше ли для начала ознакомиться с тем, что уже добыто наукой?

В продолжение темы:

В данном случае, наверное, может быть приведен такой аргумент - в соответствии с указанным свойством алгоритма (потенциальная осуществимость):
-- нельзя выдавать невыполнимые задания, распоряжения, предписания и т.п., и, следовательно. алгоритмы;
-- задания, распоряжения, предписания и т.п., и, следовательно. алгоритмы должны быть выполнимые (для конкретного исполнителя, которому они адресуются).

То есть - это свойства алгоритма типа:
выполнимость алгоритма.

Тогда, если добавить:
потенциальная выполнимость = возможная, вероятная выполнимость алгоритма?
(поскольку: потенциальный - это возможный, вероятный).
Для общего случая это будет, по-видимому, излишнее ограничение,
хотя в для некоторых новых узких частных случаев (классов) алгоритмов это может быть приемлемо
(например, для вероятностных алгоритмов).

К этому свойству выполнимости примыкает общее свойство алгоритма:
соответствие системы команд алгоритма системе команд исполнителя алгоритма.
Это, очевидно, частный аспект выполнимости.

А с этим свойством связано также свойство понятности алгоритма исполнителю.
Но это антропоморфный термин - предполагает исполнителя-человека.
Необходимо обобщение этого термина, пригодное и для человека и для автомата (и в биологии, и ...).
Это тоже, наверное, частный аспект выполнимости.

И т.д.

К сожалению вопрос общих свойств алгоритмов систематические не разработан.
Здесь существует большой разнобой в литературе.

----------------------------
Жалею, что в свое время не сообразил задать студентам целевые рефераты типа:
аналитический обзор определений и общих свойств алгоритмов - в литературе и в инете.
Были большие потоки.
Но сейчас у меня нет учебного процесса.
Я простой советский неученый, преподаю по совместительству, а сейчас перерыв до лучших времен.
А в этом вопросе полезно кучковаться заинтересованным разработчикам и преподавателям.

Абстракция потенциальной осуществимости — термин, введенный А. А. Марковым

Читать дальше ...

Прошу прощения, что длинный текст поста.
Но, как говорил незабвенный Ильич, нет времени писать короткие посты
(но такую проблемную тему).

У нас есть два вопроса:
1) Какое отношение имеет к общему определению алгоритма указанное свойство вычислительного процесса:
потенциально осуществимый (процесс).
2) Кто впервые ввел понятие потенциальной осуществимости.

В статье по первой ссылке дается исходное определение:
АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ – метод мысленного отвлечения, лежащий в основе идеи т.н. потенциальной бесконечности.
И затем подробные пояснения по сути дела.

Далее:
В логическом аспекте принятие абстракции потенциальной осуществимости ведет к обоснованию метода полной (совершенной) индукции.

Здесь, по-видимому, необходимо уточнить:
метод полной математической индукции - способ компактного обобщения решения для потенциально бесконечного числа частных решений
(зависимых от натурального числа от нуля или единицы и до бесконечности).
Полная (совершенная) индукция - это более общий случай, включая
обобщение для конечного числа частных решений
(например, для трех значений некоторого параметра типа: x > 0, x = 0, x < o).
В отличие от неполной (несовершенной) индукции.
А полная математическая индукция существовала очень давно - еще задолго до Маркова.
И ее строгое логическое обоснование, как мне кажется, тоже появилось до Маркова.
Но может быть я ошибаюсь.

Далее:
Термин «абстракция потенциальной осуществимости» был впервые введен в употребление А.А. Марковым
в ходе анализа математических абстракций, предпринятого им
в связи с разработкой основ конструктивного направления в математике.

Вот это для меня полная неожиданность (!!!).
И это пишет Η.Μ. Нагорный - ученик Маркова и соавтор книги:
Теория алгорифмов (1984).
Он то, наверное, был в курсе дела.

А я-то считал, что все придумали Древние Греки, и мы только с трудом разбираемся с их придумками.
В частности, еще в древнегреческой геометрии существовало требование:
не использовать актуальную бесконечность и применять потенциальную бесконечность и потенциальную осуществимость.
Не знаю, в каких это терминах выражалось,
но такие понятия и практические навыки уже были.
В частности, в связи с этим
для вычисления площадей и объемов криволинейных фигур и тел
был специально придуман так называемый метод исчерпания.
Не знаю, в чем он заключается, но утверждается, что он очень громоздкий
(по сравнению с применением актуальной бесконечности).
И даже считается, что греки были близки к понятию интеграла и производной,
но из-за этого метода они упустили такую возможность
(но это, конечно, очень наивно).

То есть такие представления в математике были уже дано и интенсивно использовались.
Но возможно именно Марков ввел именно такой термин:
"абстракция потенциальной осуществимости" - для такого давно известного понятия и метода.
И, может быть, он его усовершенствовал применительно к задачам построения конструктивной математики (в особенности - конструктивного анализа).

Все это интересно само по себе.
Посмотрю внимательно на досуге
У меня под рукой лежат три книги по Марковской тематике
(включая 2-й том его трудов по этим проблемам).
Но какое все это может иметь отношение к 1-му вопросу?

--------------------------------------------------------------------------
В статье по второй ссылке приводится высказывание - выше приведенная цитата:

Во-первых, удивляет, что Марков был первым, кто осознал ... .
Но это было вполне возможно - в середине 40-х годов все это было малоизвестно и очень неясно.

Во-вторых, здесь используются очень неточные обороты типа:
уточнил и превратил это расплывчатое представление об алгоритме в математически точно формулируемое понятие.

Создается впечатление, что это математически точно сформулированное определение понятия алгоритма.
Однако - это математически точное точное определение понятия вычислимой функции
(посредством представительной вычислительной модели типа нормальных алгоритмов Маркова).
Это косвенное уточнение понятия алгоритма
(через вычислимые функции, которые и только которые вычисляют алгоритмы).
А какие точно сформулированные определения самого понятия алгоритма (?):
-- это не входит в компетенцию классической теории алгоритмов;
-- здесь полный ералаш (в общем и в среднем),
и по этому поводу мы, в частности, здесь кувыркаемся.

----------------------------------
Теперь вернемся к изначальному определению:



Здесь лучше разбить определение на две части:

1) Алгоритм — точное предписание,
задающее вычислительный процесс (процесс исполнения алгоритма),
ведущий от исходных данных (которые могут варьировать) к конечному результату.
Например:
процесс вычисления длины гипотенузы.

Такое определение и детю понятно.

2) Из этого определение вынесем уточнение типа свойства алгоритма:
это предписание задает потенциально осуществимый вычислительный процесс.
Например:
потенциально осуществимый процесс вычисления длины гипотенузы (???)

Причем тут потенциальная осуществимость?
Никаких конкретных разъяснений по этому поводу не дается.

Дается только ссылка в скобках на статью - общую идею:
замены понятия актуальной бесконечности понятием потенциальной бесконечности
и применения метода потенциальной осуществимости.

Но какое отношение это имеет к общей идее понятия алгоритма?

Может быть я сильно что-то здесь недопонимаю.
Но кто-нибудь из читателей этого поста может разъяснить,
что автор этого определения имел в виду?
Причем это должно быть понятно обычному сметному - массовому читателю философской энциклопедии.

3) И все это, к стати говоря, свидетельствует о пользе вынесения
всех дополнительных деталей их основного текста определения алгоритма
в отдельный список свойств алгоритмов:
терминов и определений смысла их употребления.

Это немного апосля - дефицит времени
(не так все просто с примерами ссылок на прикладную теорию).
А пока можно посмотреть "новую книгу" - объект данной темы.

Это пример хорошо наработанной многоаспектной методологии прикладной алгоритмики
(визуальной в своей основе, но не только),
включая многие компоненты (в одном малом по объему флаконе):
от практики к теории (!!!),
инженерно-методические и учебно-методические вопросы,
параллельные алгоритмы
и много еще чего (пока не успел хорошо все просмотреть).
Содержит математические алгоритмические приложения,
но выходит далеко за рамки математики - в технику, медицину, биологию и т.д.
Много блок-схемной визуализации - это сходу бросается в глаза.
Много всяких изюминок (на личный взгляд).

Причем решается остро актуальная проблема:
фактически это успешный пример формирования авторского варианта
общедоступных основ практики и теории прикладной алгоритмики,
причем в направлении - от практики к теории, а не наоборот
(как мне показалось навскидку, но первые общие впечатления - они обычно верные).

Если (умело) обучить по этой книге, то простой смертный - массовый контингент
будет уметь решать практические полезные (а не бесполезные) алгоритмические задачи
(вот это я достаточно уверенно могу предположить).

Хорошо сказано - справедливо.
Но посты на почте - это не учебник.
Тем не менее попробуем.
Но коротко не будет - иначе не понятно будет, в чем суть аналоговой проблемы.

А главное, в чем основная мораль?:
в определениях и характеристиках алгоритмов не следует замыкаться на ортодоксальные классические представления.
Иначе могут возникать:
-- всякие недоразумения типа "анти-алгоритмических настроений" в декларативном (функциональном и логическом) программировании;
-- путаница с преподаванием разных теорий алгоритмов;
-- неадекватные обвинения в принципиально новых подходах и т.п.

Например, давно были
"Алгоритмы решения изобретательских задач"
(поиска новых технических решений) Альшуллера Г.С.
По слухам на их автора были большие нападки со стороны сторонников
классической теории алгоритмов с обвинениями в алгоритмической некомпетентности.
Он переименовал их типа:
"Теория решения изобретательских задач" - и дело с концом.

А ведь возможно было подстимулировать развитие (прикладной) теории алгоритмов:
-- по этой системе (по этим алгоритмам) любой обученный инженер найдет решение поставленной изобретательской задачи;
-- но у всех будут разные решения, но тем не менее решения гарантированно будут.
То есть это какой-то новый класс алгоритмов - с точностью до факта наличия решения.
И советская наука могла бы лидировать в этом отношении.

В это общая суть вопроса.
А дальше можно не читать.
Пример будет - но много вариантов, и тоже будет много слов.

=============================================================
А в чем была проблема изначально?:
является ли дифференциальное уравнение аналоговым алгоритмом?.

Рассмотрим более общий случай.
Является ли любая (вычислительная) формула:
а) Обычным (дискретным) алгоритмом? - в обычном смысле.
б) Может ли она быть аналоговым алгоритмом?:
это что-то в принципе "неправильное" по классически представлениям,
хотя в практическом обиходе такая тенденция смутно уже начинает прорисовывается
(кажется).

-----------------------------------------------------------
Возьмем для примера, что попроще:
начало формулы вычисления гипотенузы

v = a^2 + b^2.

Алгоритм - это предписание выполнить последовательность действий.
Является ли это формула предписанием (алгоритмическим предписанием)?:

Вот список последовательности команд пошаговых вычислений типа:

v1 = a^2;
v2 = b^2;
v = v1 +v2

это точно алгоритм.
Причем - это дискретный алгоритм (по общему свойству дискретности алгоритмов).
Причем его можно реализовать программно и вычислять его автоматически.

Все, кто немного знает школьную алгебру смогут проводить вычисления
непосредственно по формуле:
в указанной правильной последовательности действий.
Следовательно:

1) Формула является некоторой формой представления такого (указанного выше) предписания.

2) Можно предположить (пока гипотетически):
-- приведенная выше (расчетная) формула является
алгоритмическим предписанием, то есть является алгоритмом;
-- все расчетные формулы являются (возможно) алгоритмами:
неполная индукция - не гарантирует правильности вывода,
но является хорошей эвристикой.

--------------------------------------------------
Предположим:
указанная выше формула является алгоритмом,
поскольку она задает правильную последовательность действий.

Однако, здесь возникает очень ехидное обстоятельство.

По этой формуле можно правильно вычислять в частино обратной последовательности действий:

v2 = b^2;
v1 = a^2;
v = v1 +v2

Более того, по этой формул можно вычислять в таком порядке:

v1 = a^2 || v2 = b^2; // параллельное во времени (одновременное) выполнение 2-х команд
v = v1 +v2

Это обстоятельство выходит за рамки представлений об алгоритме типа:
алгоритм - это строгое, точное, однозначное ... предписание выполнить
последовательность действий.

Что делать?

1) Частично можно решить проблему - обобщить определение типа:
Алгоритм - это предписание выполнить комплекс действий
(последовательной или параллельной структуры).

2) Но здесь обнаруживается вариативность порядка действий.
Это не увязывается с представлениями об алгоритме типа:
алгоритм - это однозначное предписание выполнить
(последовательность или комплекс действий).

Предположим, мы подбирает некоторое дополнительное обобщение определения алгоритма.
Не важно какое.
Важно, что данную формулу можно будет интерпретировать как алгоритм.

--------------------------------------
А теперь вернемся в вопросу об аналоговых алгоритмах.

1) Указанную формулу можно реализовать аналоговой вычислительной схемой.
Причем она изначально будет распараллелена,
поскольку она представляет собой двухместную функцию.
Она будет правильно выполнять вычисления по заданной формуле.
В этом отношении она близка к понятию алгоритма.

Но здесь нет дискретности:
на двух входах (a, b) и на выходке (v) сигналы могут изменяться непрерывно во времени.

Предположим:
-- мы обобщаем определение алгоритма на непрерывные (аналоговые) алгоритмы,
-- исходную формулу снова интерпретируем как алгоритм - аналоговый в данном случае;
-- формируем некоторую аналоговую теорию алгоритмов.
Слава богу - как-то (гипотетически) выкрутились.

---------------------------
Но тут появляется еще одно ехидное обстоятельство.
Предположим, в этой схеме все аналоговые вычислительные элементы
заменяем на цифровые компоненты - элементарные цифровые операционные процессоры.
Схема будет правильно вычислять заданную формулу.
Вопрос:
Является ли заданная формула алгоритмом.
Предположим:
-- мы сумели как-то еще расширить и обобщить определение алгоритма,
-- заданную формулу снова можно будет интерпретировать
как (какой-то там) непрерывно-дискретный алгоритм.

Но только вопрос - а зачем вся такая морока?
Ответ - а это такая тенденция в вычислительной схемотехнике (но местами)

-------------------------------
Но тут появляется еще одно ехидное обстоятельство.
Предположим, не все, а часть аналоговых вычислительных элементов заменяется на цифровые процессоры.
Появляются аналого-цифровые вычислительные системы.
В принципе, можно обобщит формулы на аналого-цифровые алгоритмы.

==============================================================
Автора данного поста выше приведенные выкладки интересуют не сами по себе,
а как промежуточные инстанции для выхода на следующую проблему:

1) В алфавитно-цифровых устройствах центральных процессоров
сумматоры выполняются как обычные комбинационные схемы
(синхронные и асинхронные).
Но работу комбинационных схем не принято описывать алгоритмами.
Это делается посредством:
-- или словесного описания работы процессора;
-- или посредством плохопонятных временных диаграмм работы аппаратуры конкретных схемных решений.

2) Появляется проблема продвижения аналоговых обобщений алгоритмов
на формулы и схемы комбинационных автоматов для сумматоров, умножителей и т.п.

Возможно, это уже где-то так делается - в литературе или в проектной документации.
Нет ли у кого-нибудь какой-либо информации на эту тему.

Нет. И все дальнейшие рассуждения, основанные на этом ошибочном умозаключении не верны.

Нет и баста - это слишком категорично.
Это Ваше мнение - имеете право.
У меня свое мнение (более продвинутое) по этому очень проблемному вопросу - тоже имею право.
Давайте останемся каждый при своем мнении.
А бодаться по этому поводу нет смысла, если у Вас нет реального интереса.

Лучше бы Вы подсказали,
как приложить теорию параллельных алгоритмов
для алгоритмического описания комбинационных схем
параллельных сумматоров, умножителей и т.п.
В смысле наводки на возможные источники.

Это имеет большое и теоретическое и практическое и учебно-методическое значение:
относительно простые параллельные алгоритмы на всем хорошо знакомую прикладную тематику.

--------------------------------------------------------
Кстати, большое спасибо за ссылку:

Очень подходящая для коллекции разных походов.

Это тот проблемный случай, когда излагается не теория алгоритмов (непосредственно):
в первой половине книги излагаются теория конечных автоматов.
Исторически - это теория логического управления:
конкретнее - последовательностные автоматы:
последовательного действия - без выхода на параллельные последовательностные автоматы.

Об алгоритмах там по этому поводу ничего не говорится.

Ничего не приводится по не конечным автоматам типа:
магазинные автоматы (FIFO), вагонные автоматы (FILO) и т.п.

Но вторая половина книги отводится на приложение
идеологии конечных автоматов
к бесконечным автоматам типа машин Тьюринга (и кажется Поста).
В принципе это относится к области классической теории алгоритмов.
Но это не имеет большой практической пользы для прикладной теории алгоритмов.
Даже в связи с попытками выхода на программирование.

Много есть разных языков и методов программной реализации разных
представительных вычислительных моделей.
Но они не получили практического распространения, за исключением применения в
учебных курсах по (классической) теории алгоритмов.

Но все это не значит, что все это бесполезно вообще - там много чего нужного кому-то.

Есть более современные источники с аналогичным подходом:
сначала излагаются автоматы (конечные и другие), а затем рассматриваются машины Тьюринга.

---------------------------------
Извините, пожалуйста, за "так много слов".
Но это конкретные разговоры по сложным проблемным вопросам
(не общие слова и не простые конкретные вопросы).

ОК, попробую кратко объяснить:
Есть много разных формул. И для вычисления многих формул исторически были известны точные рецепты (это то, что мы зовем алгоритмами). А для некоторых были только эвристические приемы решения, которые не гарантировали, что на очередных значениях переменных этот прием сработает. Т.е. для таких формул не были известны эффективные процедуры их вычисления.
И еще были формулы, которые вообще неизвестно было как вычислять.

В итоге математики задумались почему так происходит, для каких формул (вернее функций) существуют эффективные процедуры и каковы границы вычислимого.
Ответы на эти вопросы дали формализмы Черча и Тьюринга.

И тот и другой формализовали понятие алгоритма. Т.е. показали для каких функций существуют те самые точные рецепты.

Лямбда исчисление показывает как и в каких рамках можно строить вычислимые функции. И полностью определяет как такие функции вычисляются.
Т.е. лямбда-выражение - это и есть то, что мы неформально зовем алгоритмом.
Это можно сказать первый формальный язык программирования.
Дан способ строить выражения и общая процедура вычисления. Нет только исполнителя (но все необходимое для его создания есть)

Машина Тьюринга представляет из себя уже конкретную машину, способную без вмешательства человека исполнять алгоритмы.
Тут нет языка программирования. Но сама машина и правила ее конфигурирования полностью определены. И саму конфигурацию можно считать программой. (Или пойти еще дальше и построить УМТ... что и проделал Тьюринг)
Это можно сказать первый формальный исполнитель. (т.е. компьютер)

Оба формализма эквивалентны. Т.е. для лямбда-выражения можно сконфигурировать МТ и наоборот.



Что такое прикладная теория алгоритмов?

И вообще мне кажется вы невнимательно Минского читали.


Можете подкрепить это заявление?

ps Стоит ли рассуждать на тему параллельных алгоритмов если нет понимания обычных?

В принципе почти со всем согласен, но хочу кое-что добавить для ясности.

Это речь идет о так называемых массовых математических проблемах:
существует ли общий метод, способ, алгоритм решения для всех задач заданного (бесконечного) класса?
Это если его долго ищут и не могут найти.

При этом еще до появления теории алгоритмов (в 19-м веке)
впервые была доказана неразрешимость, то есть отсутствие общего алгоритма некоторых массовых проблем:
-- трисекция угла, квадратура круга, удвоение куба;
-- алгебраических уравнений пятой степени и выше и т.п.

Причем в каждом случае это доказывалось своими способами и средствами.

Их заслугой было то, что:
-- они дали свои универсальные теоретико-алгоритмические способы решения любых массовых проблем;
-- положили начало разработки других аналогичных способов.

Вот это надо категорически переформулировать:

1) Они дали способы косвенного строгого математического уточнения (интуитивного) понятия алгоритма:
-- путем точного математического определения класса вычислимых функций
(которые и только которые вычисляют алгоритмы):
свели понятие алгоритмов к понятию вычислимых ими функций;
-- посредством представительных вычислительных моделей - в данном случае типа машин Поста и Тьюринга.

2) "Важно понимать, что представительные вычислительные модели массовых проблем не являются формализацией понятия алгоритма":
"они обеспечивают" только подходы "для формализации понятия вычислимой функции", вычисляемой "посредством какого-либо алгоритма".
([Успенский В. А., Семенов А. А. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. – М.: Наука, 1987], с. 41).

В "Словаре по кибернетике" (еще 1979 и 1989 годов издания) есть две статьи:

1) В статье "Алгоритмов теория" представлена фундаментальная математическая проблематика классической фундаментальной теории алгоритмов (примерно то. о чем пишется выше в данном посте):
то есть она по исторической традиции именуется общим термином "Теория алгоритмов".
Но при этом:
-- в конце этой статьи отмечается появление ряда прикладных направлений
(теория схем программ, теория дискретных преобразователей и дискретных систем),
-- но еще не говорится прямо о самостоятельной прикладной теории алгоритмов.

2) В статье "Прикладная теория алгоритмов":
• представлена в целом самостоятельная прикладная теория алгоритмов
(о появлении которой было известно еще в 50-х годах - в частности, в работах Ляпунова А.А. и его учеников);
• указывается, что это теория моделей, реализующих алгоритмы:
функциональные, динамические и структурные модели объектов, реализующих алгоритмы – программ, программных систем, средств вычислительной техники, систем управления с применением вычислительной техники и т.п.

Очевидно, что эти статьи писали разные специалисты (представители разных школ).
В наше время требуется уточнение содержания прикладной теории, но уже ясно:
такая теория существует.
Точнее сказать - это пока не единая общая прикладная теория алгоритмов,
а много частных прикладных теорий, направлений, подходов, отдельных задач, много примеров алгоритмом в разных областях приложений (многочисленные сборники) и т.п.


Дык я его и не читал.
Я его внимательно пролистал - просмотрел по диагонали.
У меня глаз неметанный на эти темы.
Я эту книгу (файл) отложил в долгий ящик - там много чего интересного и полезного, но это на потом.
А сейчас вполне ясно следующее:

1) Предположим, мы с Вами собрали медиков
на коммерческую (платную) курсовую подготовку по теме типа:
основы (практически полезной им - простым медикам) алгоритмики.

2) У нас есть выбор:
-- учебный курс на основе "новой книги" по визуальному языку Дракон:
вполне реально их обучить как разработчиков и, главное, как пользователей алгоритмических задач
на основе применения это визуальуного языка, указанной книги и их программной поддержки;
-- учебный курс на основе указанной выше книги (которая в файле):
накачать медикам теорию конечных автоматов
и закончить фундаментальными проблемами алгоритмической разрешимости
(чего?: давно известных практически медицинских процедур?).

Угадайте с трех раз, в каком случае нас с Вами скорее всего побьют рассерженные слушатели-плательщики?.

Перечислять такие средства - это было бы неэтично.
Люди работают, рано или поздно что-то да будет.

Это у Вас непонимание?
А у меня полное понимание - как в школе:
Алгоритм - это точное и понятное предписание исполнителю выполнить последовательность действий, направленных на достижение заданной цели или решение поставленной задачи
(для понимания этого не нужно обращаться к представительным вычислительным моделям).
И кое-что еще, чему не учат в школе - структурная теория последовательных и параллельных алгоритмов и т.п.
(там много ясного, еще больше неясного, но жить можно).

Во-первых, фраза вырвана из контекста.
Во-вторых, читайте советские книги внимательно и трезво (особливо если в них Колмогоров фигурирует).

На остальное пока нет времени отвечать. Пока скажу только, что вас куда-то в сторону уносит.

Вот, к примеру высказывание:

просто не верно как ни крути.