Словами языка, заданного грамматикой, являются все последовательности терминалов, выводимые (порождаемые) из начального нетерминала по правилам вывода.

Формальная грамматика

Формальная грамматика или просто грамматика в теории формальных языков — способ описания формального языка, то есть выделения некоторого подмножества из множества всех слов некоторого конечного алфавита.

Различают порождающие и распознающие (или аналитические) грамматики — первые задают правила, с помощью которых можно построить любое слово языка, а вторые позволяют по данному слову определить, входит ли оно в язык или нет.

Содержание

1 Термины
2 Порождающие грамматики
2.1 Вывод
2.2 Типы грамматик
2.3 Применение
2.4 Пример — арифметические выражения
3 Аналитические грамматики
4 См. также
5 Примечания
6 Литература

Термины

Терминал (терминальный символ) — объект, непосредственно присутствующий в словах языка, соответствующего грамматике, и имеющий конкретное, неизменяемое значение (обобщение понятия «буквы»). В формальных языках, используемых на компьютере, в качестве терминалов обычно берут все или часть стандартных символов ASCII — латинские буквы, цифры и спец. символы.

Нетерминал (нетерминальный символ) — объект, обозначающий какую-либо сущность языка (например: формула, арифметическое выражение, команда) и не имеющий конкретного символьного значения.

Порождающие грамматики

Словами языка, заданного грамматикой, являются все последовательности терминалов, выводимые (порождаемые) из начального нетерминала по правилам вывода.

Чтобы задать грамматику, требуется задать алфавиты терминалов и нетерминалов, набор правил вывода, а также выделить в множестве нетерминалов начальный.

Итак, грамматика определяется следующими характеристиками:
{\displaystyle \Sigma } \Sigma — набор (алфавит) терминальных символов

N — набор (алфавит) нетерминальных символов

P — набор правил вида: «левая часть» {\displaystyle \rightarrow } \rightarrow «правая часть», где:

«левая часть» — непустая последовательность терминалов и нетерминалов, содержащая хотя бы один нетерминал

«правая часть» — любая последовательность терминалов и нетерминалов

S — стартовый (или начальный) символ грамматики из набора нетерминалов.

Вывод

Выводом называется последовательность строк, состоящих из терминалов и нетерминалов, где первой идет строка, состоящая из одного стартового нетерминала, а каждая последующая строка получена из предыдущей путём замены некоторой подстроки по одному (любому) из правил. Конечной строкой является строка, полностью состоящая из терминалов, и следовательно являющаяся словом языка.

Существование вывода для некоторого слова является критерием его принадлежности к языку, определяемому данной грамматикой.

Типы грамматик

По иерархии Хомского, грамматики делятся на 4 типа, каждый последующий является более ограниченным подмножеством предыдущего (но и легче поддающимся анализу):

тип 0. неограниченные грамматики — возможны любые правила

тип 1. контекстно-зависимые грамматики — левая часть может содержать один нетерминал, окруженный «контекстом» (последовательности символов, в том же виде присутствующие в правой части); сам нетерминал заменяется непустой последовательностью символов в правой части.

тип 2. контекстно-свободные грамматики — левая часть состоит из одного нетерминала.

тип 3. регулярные грамматики — более простые, эквивалентны конечным автоматам.

Кроме того, выделяют:

Неукорачивающиеся грамматики. Каждое правило такой грамматики имеет вид {\displaystyle \alpha \rightarrow \beta } \alpha \rightarrow \beta , где {\displaystyle |\alpha |\leqslant |\beta |} |\alpha |\leqslant |\beta |. Длина правой части правила не меньше длины левой[1].

Линейные грамматики. Каждое правило такой грамматики имеет вид {\displaystyle A\rightarrow uBv} A\rightarrow uBv, или {\displaystyle A\rightarrow u} A\rightarrow u, то есть в правой части правила может содержаться не более одного вхождения нетерминала[2].

[b]Применение[/b]

Контекстно-свободные грамматики широко применяются для определения грамматической структуры в грамматическом анализе.

Регулярные грамматики (в виде регулярных выражений) широко применяются как шаблоны для текстового поиска, разбивки и подстановки, в том числе в лексическом анализе.

Пример — арифметические выражения

Рассмотрим простой язык, определяющий ограниченное подмножество арифметических формул, состоящих из натуральных чисел, скобок и знаков арифметических действий.

Стоит заметить, что здесь в каждом правиле с левой стороны от стрелки {\displaystyle \Rightarrow } \Rightarrow стоит только один нетерминальный символ. Такие грамматики называются контекстно-свободными.

Терминальный алфавит:

Sigma = {'0','1','2','3','4','5','6','7','8','9','+','-','*','/','(',')'}

Нетерминальный алфавит:

{ ФОРМУЛА, ЗНАК, ЧИСЛО, ЦИФРА }

Правила:

1. ФОРМУЛА

ФОРМУЛА ЗНАК ФОРМУЛА (формула есть две формулы, соединенные знаком)

2. ФОРМУЛА

ЧИСЛО (формула есть число)

3. ФОРМУЛА

( ФОРМУЛА ) (формула есть формула в скобках)

4. ЗНАК

+ | - | * | / (знак есть плюс или минус, или умножить, или разделить)

5. ЧИСЛО

ЦИФРА (число есть цифра)

6. ЧИСЛО

ЧИСЛО ЦИФРА (число есть число и цифра)

7. ЦИФРА

0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 (цифра есть 0 или 1, или ... 9 )

Начальный нетерминал:
ФОРМУЛА

Вывод:

Выведем формулу (12+5) с помощью перечисленных правил вывода. Для наглядности, стороны каждой замены показаны попарно, в каждой паре заменяемая часть подчеркнута.

ФОРМУЛА {\displaystyle {\stackrel {3}{\to }}} {\stackrel {3}{\to }} (ФОРМУЛА)
(ФОРМУЛА) {\displaystyle {\stackrel {1}{\to }}} {\stackrel {1}{\to }} (ФОРМУЛА ЗНАК ФОРМУЛА)
(ФОРМУЛА ЗНАК ФОРМУЛА) {\displaystyle {\stackrel {4}{\to }}} {\stackrel {4}{\to }} (ФОРМУЛА + ФОРМУЛА)
(ФОРМУЛА + ФОРМУЛА) {\displaystyle {\stackrel {2}{\to }}} {\stackrel {2}{\to }} (ФОРМУЛА + ЧИСЛО)
(ФОРМУЛА + ЧИСЛО) {\displaystyle {\stackrel {5}{\to }}} {\stackrel {5}{\to }} (ФОРМУЛА + ЦИФРА)
(ФОРМУЛА + ЦИФРА) {\displaystyle {\stackrel {7}{\to }}} {\stackrel {7}{\to }} (ФОРМУЛА + 5)
(ФОРМУЛА + 5) {\displaystyle {\stackrel {2}{\to }}} {\stackrel {2}{\to }} (ЧИСЛО + 5)
(ЧИСЛО + 5) {\displaystyle {\stackrel {6}{\to }}} {\stackrel {6}{\to }} (ЧИСЛО ЦИФРА + 5)
(ЧИСЛО ЦИФРА + 5) {\displaystyle {\stackrel {5}{\to }}} {\stackrel {5}{\to }} (ЦИФРА ЦИФРА + 5)
(ЦИФРА ЦИФРА + 5) {\displaystyle {\stackrel {7}{\to }}} {\stackrel {7}{\to }} (1 ЦИФРА + 5)
(1 ЦИФРА + 5) {\displaystyle {\stackrel {7}{\to }}} {\stackrel {7}{\to }} (1 2 + 5)