Рассмотрим несложное доказательство следующего утверждения: если натуральное число не делится на 6 и делится на 9, то оно нечетно.
В кратком виде традиционное доказательство представляет собой следующее рассуждение:
«Согласно условию, n не делится на 6 и делится на 9. Поскольку n делится на 9, то п делится и на 3. Кроме того, n не делится на 6, а значит, n не делится на 2 или на 3. Следовательно, n не делится на 2».
При такой форме доказательства, т. е. в виде цепочки утверждений, не видно, какое утверждение из какого следует, не просматриваются логические связи между членами этой цепочки.
Теперь то же самое краткое рассуждение представим в виде дерева, выявив все логические связи между членами рассуждения. На схеме посылки и следствия помещены в прямоугольники, стрелками обозначено направление отношений следования - сверху вниз. Внутри прямоугольников используется обычная символика матлогики: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация (стрелка), - и теории чисел: делит, не делит.
Вложение:
Схема-делимость.png [ 10.14 КБ | Просмотров: 11937 ]
Очевидно, линейное доказательство, хотя и выглядит более компактным, но в отличие от дерева доказательства лишено наглядности. Если его снабдить комментарием, указывающим на логическую взаимосвязь между членами, то компактность исчезнет, а наглядности по-прежнему не будет:
1) 6 не делит n И 9 делит n - допущение (условие);
2) 6 не делит n - логически следует из предложения 1;
3) 2 делит n И 3 делит n -> 6 делит n - известное утверждение из теории делимости;
4) 6 НЕ делит n -> НЕ (2 делит n И 3 делит n) - логически следует из предложения 3;
5) НЕ (2 делит n И 3 делит n) - логически следует из предложений 2 и 4;
6) 2 не делит n ИЛИ 3 не делит n - логически следует из предложения 5;
7) 9 делит n - логически следует из предложения 1;
8 ) 9 делит n -> 3 делит n - известное утверждение из теории делимости;
9) 3 делит n - логически следует из предложений 7 и 8;
10) 2 не делит n - логически следует из предложений 6 и 9;
(использован материал книги И.Л. Тимофеевой "Математическая логика. Курс лекций")
